Is 221 een priemgetal? Zonder rekenmachine lijkt dat lastig, maar met een paar vaste checks beantwoord je zo’n vraag in seconden. In dit artikel leer je snelle deelbaarheidsregels, de wortel-truc die je enorm veel werk bespaart, en de zeef van Eratosthenes om priemgetallen op een rij te vinden. Handig voor huiswerk, programmeerpuzzels en gewoon om getallen beter te snappen.

Wat is een priemgetal

Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat precies twee delers heeft: 1 en zichzelf. Zo zijn 2, 3, 5, 7 en 11 priem. Getallen met meer delers heten samengesteld, zoals 12 (deelbaar door 1, 2, 3, 4, 6 en 12). Let op twee veelgemaakte aannames: 1 is geen priemgetal (het heeft maar één deler), en 2 is het enige even priemgetal.

Snelle deelbaarheidsregels

Voordat je gaat delen, sluit je met een paar trucs de meeste getallen razendsnel uit.

Deelbaar door 2, 3 en 5

• Door 2: het getal eindigt op 0, 2, 4, 6 of 8.
• Door 3: tel alle cijfers op; is de som deelbaar door 3, dan het getal ook. 471 geeft 4+7+1=12, dus deelbaar door 3.
• Door 5: het getal eindigt op 0 of 5.

Deelbaar door 7 en 11

Voor 11 tel je cijfers afwisselend op en af. Bij 2915: 2-9+1-5 = -11, deelbaar door 11, dus 2915 is dat ook. Voor 7 bestaat een truc (laatste cijfer verdubbelen en aftrekken), maar in de praktijk is gewoon delen door 7 vaak sneller. Wat telt: 7 en 11 zijn de eerste priemdelers die je makkelijk over het hoofd ziet.

De wortel-truc: waar stop je met testen?

Je hoeft niet alle kleinere getallen te proberen. Je test alleen priemdelers tot en met de vierkantswortel van je getal. De reden: als een getal een deler groter dan zijn wortel heeft, dan hoort daar automatisch een deler kleiner dan de wortel bij, en die had je al gevonden. Voor een getal rond 200 ligt de wortel bij 14, dus je test alleen 2, 3, 5, 7, 11 en 13. Meer niet.

Voorbeeld: is 221 priem?

De wortel van 221 ligt net onder 15, dus test priemgetallen tot 13. Door 2? Nee, oneven. Door 3? 2+2+1=5, niet deelbaar. Door 5? Eindigt niet op 0 of 5. Door 7? 7 x 31 = 217, rest 4, dus nee. Door 11? 2-2+1=1, nee. Door 13? 13 x 17 = 221, precies. Dus 221 is niet priem: het is 13 x 17. Zonder de wortel-truc had je door tientallen getallen gedeeld; nu waren vijf checks genoeg.

Een rij priemgetallen vinden: de zeef van Eratosthenes

Wil je alle priemgetallen tot bijvoorbeeld 100, gebruik dan deze klassieke methode. Schrijf de getallen 2 tot 100 op. Omcirkel 2 en streep alle veelvouden van 2 door. Ga naar het volgende niet-doorgestreepte getal (3), omcirkel het en streep zijn veelvouden door. Herhaal met 5 en 7. Wat overblijft, zijn alle priemgetallen tot 100. Omdat de wortel van 100 gelijk is aan 10, hoef je maar tot 7 te zeven.

Veelgemaakte fouten en hoe je ze oplost

1 als priemgetal tellen. Dat klopt niet; 1 heeft maar één deler. Onthoud de definitie: precies twee verschillende delers.

Te ver blijven testen. Mensen delen door alle getallen tot het getal zelf. Stop bij de wortel; dat scheelt enorm veel werk.

Alleen even getallen uitsluiten. Na 2 uitsluiten vergeten mensen 3, 7 of 11. Loop de kleine priemgetallen systematisch af.

Checklist om een getal te testen

• Groter dan 1? Zo niet, geen priemgetal.
• Even en niet 2? Dan samengesteld, klaar.
• Cijfersom deelbaar door 3? Dan samengesteld.
• Eindigt op 0 of 5 (en niet 5 zelf)? Dan deelbaar door 5.
• Bepaal de wortel en test alleen priemdelers tot dat getal.
• Geen enkele deler gevonden? Dan is het priem.

Conclusie

Priemgetallen herkennen is een kwestie van slim uitsluiten: eerst de snelle deelbaarheidsregels, dan alleen priemdelers testen tot de wortel. Zo werk je gestructureerd in plaats van blind te delen. Pak als oefening drie getallen tussen 100 en 200 en test ze met de checklist. Na een paar keer doe je het uit je hoofd.

Veelgestelde vragen

Is 1 een priemgetal?

Nee. Een priemgetal heeft precies twee verschillende delers, en 1 heeft er maar één. Daarom begint de rij priemgetallen bij 2.

Waarom is 2 het enige even priemgetal?

Elk ander even getal is deelbaar door 2 en heeft dus minstens drie delers (1, 2 en zichzelf). Daarmee is het samengesteld. Alleen 2 zelf ontsnapt daaraan.

Waarom hoef ik alleen tot de wortel te testen?

Delers komen in paren die met elkaar vermenigvuldigd het getal geven. Bij elk paar is er altijd een deler kleiner dan of gelijk aan de wortel. Vind je tot de wortel niets, dan bestaat er geen deler en is het getal priem.

Bestaat er een grootste priemgetal?

Nee. Al sinds de oudheid weten we dat er oneindig veel priemgetallen zijn; dit werd door Euclides bewezen. Er is dus geen grootste.

Bronnen

De zeef van Eratosthenes en het bewijs van oneindig veel priemgetallen (Euclides, Elementen) zijn klassieke, breed gedocumenteerde resultaten uit de wiskundegeschiedenis.